Abstract (Objective): This study is intended to characterize the mathematical work of secondary education students in technical-professional education (TP), who participate in a didactic program that integrates mathematical learning and a specialization in administration. (Methodology): This is a qualitative investigation based on a case study that analyzes mathematical work in the classroom by students in the final year of their TP education. The theoretical foundation considers aspects related to interdisciplinarity and the theory of Mathematical Work Spaces. (Results): Results of this investigation show the distance between the analyses expected and what the students actually did, which is expressed in the presence of the (Sem-Ins) plane above the others. Student results were organized according to the type of answers they provided: standard, incomplete, and blocking or difficulty. (Conclusions): Results of this investigation showed that the first sub-task was carried out in a standard manner with activation of the (Sem-Ins) plane and in a part of it the discursive genesis, while the results of the following sub-tasks corresponded to incompletion and blocking or difficulty, respectively, in which only the presence of the semiotic genesis was observed. Finally, it can be concluded that knowledge of the concepts of the specialization were not an obstacle when they were related to mathematical work. However, from a mathematical perspective, difficulties were identified with respect to the communication of discursive reasoning, associated with discursive genesis and the interpretation of graphs, which suggests the need to work on activities that integrate mathematics with the TP area of specialization - in this case, administration.

Resumen (Objetivo): La presente investigación busca caracterizar el trabajo matemático de los estudiantes de educación secundaria en formación técnica profesional (TP) que participan en una propuesta didáctica que integra aprendizajes matemáticos y de la especialidad administración. (Metodología): Se trata de una investigación de enfoque cualitativo basado en un estudio de caso que analiza el trabajo matemático en el aula de estudiantes de último año de la educación media TP. El sustento teórico considera aspectos de la interdisciplinariedad y teoría Espacios de Trabajo Matemático. (Resultados): Los resultados dan cuenta de la distancia entre los análisis previstos y lo que efectivamente realizan los estudiantes, lo que se manifiesta en la presencia del plano (Sem-Ins) por sobre los otros. Estos resultados se han organizado según el tipo de respuesta: estándar, incompleto, bloqueo o dificultad, y se han clasificado según las producciones de los estudiantes. (Conclusiones): Los resultados evidencian que la primera subtarea se ha desarrollado en el tipo estándar con activación del plano (Sem-Ins) y en una parte de ella la génesis discursiva, mientras que las siguientes subtareas corresponden a incompleto y bloqueo o dificultad, respectivamente en las que solo se observa la presencia de la génesis semiótica. Finalmente, se puede concluir que, los conceptos de la especialidad no son una dificultad al momento de ser relacionados con el trabajo matemático. Sin embargo, desde la matemática se han identificado dificultades respecto a la comunicación del razonamiento discursivo, asociados a la génesis discursiva y la lectura de gráficos, lo que sugiere la necesidad de trabajar este tipo de actividades que integren la matemática con la especialidad TP, como lo es en este caso la administración.

Resumo: (Objetivo): Esta pesquisa visa caracterizar o trabalho matemático de alunos do ensino médio em formação técnico profissionalizante (TP) que participam de uma proposta didática que integra o aprendizado matemático e a especialidade de administração. (Metodologia): Trata-se de uma investigação de abordagem qualitativa baseada num estudo de caso que analisa o trabalho matemático na sala de aula de alunos do último ano do ensino médio TP. A sustentação teórica considera aspectos da interdisciplinaridade e da teoria dos Espaços de Trabalho Matemático. (Resultados): Os resultados dão conta da distância entre as análises planejadas e o que os alunos realmente fazem, que se manifesta na presença do plano (Sem-Ins) acima dos demais. Esses resultados foram organizados de acordo com o tipo de resposta: padrão, incompleto, bloqueado ou difícil, e foram classificados de acordo com as produções dos alunos. (Conclusões): Os resultados mostram que a primeira subtarefa foi desenvolvida no tipo padrão com ativação do plano (Sem- Ins) e em parte dela a gênese discursiva, enquanto as subtarefas seguintes correspondem a incompleto e bloqueio ou difícil, respectivamente em que se observa apenas a presença da gênese semiótica. Por fim, pode-se concluir que os conceitos da especialidade não são uma dificuldade quando relacionados ao trabalho matemático. No entanto, a partir da matemática, foram identificadas dificuldades no que diz respeito à comunicação do raciocínio discursivo, associado à gênese discursiva e à leitura de gráficos, o que sugere a necessidade de trabalhar este tipo de atividade que integra a matemática com a especialidade TP, como é neste caso a administração.

Abstrac: This paper presents the analysis of an observed lesson on Thales’s Theorem in a Chilean secondary school, using the Mathematics Teacher’s Spe-cialised Knowledge (MTSK) model. We consider various aspects of the teacher’s specialised knowledge with respect to Thales’s Theorem itself, as an element of teaching and learning, and to demonstrations, as a mathematical practice, in general. From this analysis, and guided by the Chilean syllabus requirement for this topic, we construct a snapshot of the interrelated elements of knowledge deployed by the teacher, which enables us to account for how he brings par-ticular aspects into focus. The findings show that the utility which he attaches to the theorem, that of being able to apply it, alongside his view of it as a result of similarity and his emphasis on a numerical approach, is closely linked to his knowledge of registers, the interconnections he makes with other content items, his use of resources, the kind of tasks he sets up, and the knowledge of math-ematical practices he makes evident.

Resumen: Este artículo, partiendo de la observación de una lección de un profesor chileno de Educación Secundaria en la que se introduce el teorema de Thales, aborda la interpretación de dicha lección desde el conocimiento del profesor, utilizando el modelo Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge (MTSK). Se consideran aspectos del conocimiento especializado en relación, por un lado, con el teorema de Thales como objeto de aprendizaje y enseñanza, y, por otro, con la práctica matemática de demostrar. Teniendo como referente las propuestas del currículo chileno para la enseñanza de dicho contenido, extraemos una imagen de elementos relacionados del conocimiento del profesor que nos permiten explicar qué se enfatiza en la lección. Los resultados muestran que la finalidad de aplicación que el profesor atribuye al aprendizaje del teorema, junto con su visión de este como una consecuencia de la semejanza y el énfasis en su tratamiento numérico, se muestran relacionados con el conocimiento de registros, las conexiones que establece con otros contenidos, el uso de recursos, el tipo de tareas que propone y el conocimiento de la práctica matemática que evidencia.

Abstract: The study of tasks and the actions arising as a result of working with them play an important role for enhancing the learning of mathematics. This research aims to characterize the mathematical work of university teachers who develop a task with a context close to reality. For this purpose, we consider their development especially in the world of mathematics. Based on two research perspectives, Modelling and Mathematical Workspace, we present a collective instrumental case study that allows us to analyze the solution processes of three teachers. The results show how the exhibited activity is determined by the characteristics of the epistemology of the participants’ professional work. The research concludes with a discussion of some contributions to mathematics education, in terms of the theoretical scope given by the coordination of the two perspectives and the use of tasks, as well as the possibilities offered by their implementation in various educational contexts and in teaching practice.

Resumen: El estudio de las tareas y las acciones que se suscitan como producto del trabajo con ellas, es un tema necesario de abordar para potenciar el aprendizaje de las matemáticas. La presente investigación se plantea como objetivo, caracterizar el trabajo matemático de profesores universitarios que desarrollan una tarea con un contexto cercano a la realidad. Para ello, consideramos su desarrollo especialmente en el mundo de las matemáticas. Con base en dos perspectivas de investigación, Modelización y Espacio de Trabajo Matemático, presentamos un estudio colectivo de casos de tipo instrumental que nos permite analizar los procesos de solución de tres profesores. Los resultados muestran en las diversas heurísticas de solución analizadas, cómo la actividad exhibida está determinada por las características de la epistemología del trabajo profesional de los participantes. La investigación concluye con una discusión sobre algunos aportes a la educación matemática, en cuanto a los alcances teóricos dados por la coordinación de las dos perspectivas y el uso de tareas, así como las posibilidades que brinda su implementación en diversos contextos educativos y en la práctica docente.

Abstract The results of a research about Chilean teachers of Mathematics are shown in this investigation, in subject matters of Euclidean geometry, which articulates the approaches synthetically and analytically. The study presents a situation of reference that favors certain specific phases of work. The investigation sustains in the approach Mathematical Working Space and studies the personal work of the teacher with a methodological qualitative approach. The empirical evidence provides elements that allows us to characterize the paradigms in the cartesian sub-domain, which has been a contribution to the theoretical frame.

Resumen En esta investigación se muestran resultados de un estudio con profesores de matemática de liceo en Chile, en temáticas de geometría euclidiana que articulan los enfoques sintético y analítico. El estudio presenta una situación de referencia que favorece ciertas rutas de trabajo específicas. La investigación se sustenta en el enfoque Espacio de Trabajo Matemático y estudia el trabajo personal del profesor con un enfoque metodológico cualitativo. La evidencia empírica proporciona elementos que permiten caracterizar los paradigmas en el subdominio cartesiano, lo cual ha sido un aporte al constructo teórico.